Existen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, el de reducción y el de igualación. El objetivo de cualquiera de estos métodos es reducir el sistema a una ecuación de primer grado con una incógnita. La solución obtenida siempre será la misma, independientemente del método elegido.
Método de sustitución
Este método despeja una de las dos incógnitas en función de la otra en una de las dos ecuaciones. Luego sustituye el valor obtenido en la otra ecuación.
Ejemplo:
Despejamos x o y en una de las dos ecuaciones. Por ejemplo,
y
en la primera:
Sustituimos este valor en la otra ecuación. En este caso, en la segunda:
Nos queda una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos:
Calculamos el valor de la otra incógnita:
La solución que se obtiene es:
El último paso es comprobar que la solución obtenida está bien:
Método de reducción
Con este método se trata de eliminar una incógnita buscando sistemas equivalentes en donde los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos.
Recuerda la regla de la suma y del producto que usábamos para obtener ecuaciones lineales equivalentes a una dada. Nivel II, Módulo 1, punto 3.
Ejemplo:
Queremos que una de las dos incógnitas tenga en ambas ecuaciones el mismo coeficiente pero con distinto signo. Por ejemplo, la incógnita
x
en la primera ecuación ha de tener un
-2
. Para ello transformamos la ecuación en otra equivalente multiplicándola por -2:
Por la regla de la suma podemos obtener otra ecuación equivalente, sumando a ambos lados de la ecuación la misma cantidad. Podemos sumar ambas ecuaciones:
La otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor de y en una de las dos ecuaciones iniciales. Por ejemplo, en la primera:
La solución del sistema es:
El último paso es comprobar que la solución está bien. Hazlo como ejercicio.
Método de igualación
En este método hay que despejar la incógnita x o y en las dos ecuaciones. Luego se igualan sus valores, obteniendo una ecuación lineal con una sola incógnita.
Ejemplo:
Despejamos x o y en ambas ecuaciones.
Observa los coeficientes de las incógnitas. Es más cómodo despejar la incógnita que tiene de coeficiente uno, en este caso es la y.
Si los primeros miembros son iguales, también lo son los segundos. Por tanto, podemos igualarlos. Obtenemos una ecuación con una sola incógnita, en este caso
x
.
Nos falta calcular la otra incógnita. Podemos sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones.
La solución del sistema es:
Por último, hay que comprobar que la solución cumple las ecuaciones del sistema.
